Pengertian Bilangan Riil dan Contohnya

Bilangan riil atau bilangan real dalam matematika menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3,25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan \sqrt {2}. Bilangan riil juga dapat dilambangkan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.[1]

Simbol yang sering digunakan untuk menyatakan himpunan Bilangan riil adalah:

Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekuivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.

Bilangan riil ini berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner.

Bilangan riil dapat dipahami sebagai titik-titik garis bilangan yang panjangnya tak terhingga.
Pemerian bilangan riil tersebut tidak cukup ketat menurut ukuran modern matematika murni. Penemuan suatu definisi bilangan riil yang cukup ketat - dengan realisasi bahwa dibutuhkan definisi yang lebih baik - merupakan salah satu perkembangan matematika terpenting pada abad ke-19. Definisi aksiomatik standar yang ada sekarang menyatakan bahwa bilangan riil membentuk bidang Archimedes unik yang keseluruhannya teratur lengkap (R ; + ; · ; <), sampai ke suatu isomorfisma,[2] sedangkan definisi konstruktif populer dari bilangan riil meliputi pernyataan sebagai kelas-kelas ekuivalen dari deret Cauchy untuk bilangan rasional, irisan Dedekind, atau "lambang desimal" tak terhingga tertentu, bersama-sama dengan penafsiran tepat untuk operasi aritmetika dan relasi penataan. Definisi-definisi ini ekuivalen dalam dunia matematika klasik

Sifat-sifat Bilangan riil

Aksioma medan
Bilangan riil, beserta operasi penjumlahan dan perkalian, memenuhi aksioma berikut.[1][3]. Misalkan x,y dan z merupakan anggota himpunan bilangan riil R, dan operasi x+y merupakan penjumlahan, serta xy merupakan perkalian. Maka:

Aksioma 1 (hukum komutatif): x+y = y+x, dan xy = yx
Aksioma 2 (hukum asosiatif): x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz) = (xy)z
Aksioma 3 (hukum distributif): x(y+z) = (xy + xz)
Aksioma 4: Eksistensi unsur identitas. Terdapat dua bilangan riil berbeda, yang dilambangkan sebagai 0 dan 1, sehingga untuk setiap bilangan riil x kita mendapatkan 0+x=x dan 1.x=x.
Aksioma 5: Eksistensi negatif, atau invers terhadap penjumlahan. Untuk setiap bilangan riil x, terdapat bilangan riil y sehingga x+y=0. Kita dapat juga melambangkan y sebagai -x.
Aksioma 6: Eksistensi resiprokal, atau invers terhadap perkalian. Untuk setiap bilangan riil x tidak sama dengan 0, terdapat bilangan riil y sehingga xy=1. Kita dapat melambangkan y sebagai 1/x.
Himpunan yang memenuhi sifat-sifat ini disebut sebagai medan, dan karena itu aksioma di atas dinamakan sebagai aksioma medan.

Aksioma urutan
Kita akan mengasumsikan terdapat himpunan R+, yang disebut sebagai bilangan positif yang merupakan himpunan bagian dari R. Misalkan juga x dan y adalah anggota R+. Himpunan bagian ini memenuhi aksioma urutan berikut ini:[3]

Aksioma 7: x+y dan xy merupakan anggota R+
Aksioma 8: Untuk setiap x yang tidak sama dengan 0, x anggota R+ atau -x anggota R+, tetapi tidak mungkin keduanya sekaligus
Aksioma 9: 0 bukan anggota R+.

Garis bilangan tak terhingga yang menggambarkan bilangan riil

Aksioma kelengkapan
Aksioma 10: Setiap himpunan bilangan riil S yang memiliki batas atas memiliki supremum, yakni ada suatu bilangan riil B sehingga B=sup(S).

Lihat pula
Bilangan asli
Bilangan bulat
Bilangan cacah
Bilangan imajiner
Bilangan kompleks
Bilangan rasional
Bilangan irasional
Bilangan prima
Bilangan komposit
Pecahan